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DSE數學:Equations-of-Circles圓方程

【Equations of Circles DSE】圓方程【詳解】

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Equations of Circles 圓方程

圓是數學中一個重要的圖形,它的方程式可以用來描述圓的位置和形狀。在二維平面直角坐標系中,圓可以由一個中心點和一個半徑來描述,其方程式可以表示為 (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2,其中 (a, b) 表示圓心的坐標,r 表示半徑的長度。

本文將介紹圓的方程式及其應用,並提供一些例題供讀者練習。讀者在閱讀本文後,將能夠更好地理解圓的性質和應用,並能夠熟練地應用圓的方程式進行問題求解。

Equations of Circles 圓方程 簡介

圓方程(Equations of Circles)是描述平面上圓的幾何形狀的代數表達式。一個圓可以由一個中心點和一個半徑來定義。給定圓的中心點坐標 (h, k) 和半徑 r,我們可以將圓上的所有點 (x, y) 用以下標準圓方程來表示:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
這個方程根據勾股定理得出:圓上任意一點到圓心的距離等於半徑,即 sqrt{(x - h)^2 + (y - k)^2} = r。平方兩邊後得到上述標準圓方程。
示例:

  1. 圓心為原點 (0, 0),半徑為 5 的圓方程為:x^2 + y^2 = 25
  2. 圓心在點 (3, -4),半徑為 6 的圓方程為:(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 36

除了標準圓方程外,還有一種廣義圓方程:
Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0
其中,AB 均為正數,且 A = B。這種廣義圓方程可以通過變換轉化為標準圓方程。通過觀察方程的係數,我們可以找到圓心和半徑的坐標。
圓方程在解析幾何、代數和微積分等數學領域都有應用。例如,我們可以通過圓方程求解兩圓之間的位置關係(相交、相切、相離),計算圓周長和麵積,以及找到與直線、拋物線等其他曲線的交點。


Equations of Circles

圓方程 標準式 Standard Form

圓方程標準式(Standard Form)是表示圓的一種標準形式,它的一般形式為:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

其中,(h, k)表示圓心的座標,r表示圓的半徑。

具體來說,標準式中的 (x - h)^2 和 (y - k)^2 分別代表圓心到圓上任意一點的水平距離和垂直距離的平方和,也就是圓心到這個點的距離的平方。而 r 則代表這個距離的平方根,也就是圓的半徑。

在圓的幾何性質中,圓心是圓的中心點,半徑是從圓心到圓上任意一點的距離。因此,標準式中的 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 就是描述圓的基本屬性,可以通過圓心和半徑來確定圓的位置和大小。

標準式也可以用來轉換其他形式的圓方程,例如,若已知圓的一般式方程為 Ax^2 + Ay^2 + Bx + Cy + D = 0,則可以通過配方和移項將它轉換為標準式。具體的步驟可以參考高中數學教材中的相關內容。

總之,圓方程標準式是描述圓的一種基本形式,它可以通過圓心和半徑來確定圓的位置和大小,也可以用來轉換其他形式的圓方程。

圓方程 一般式 General Form

圓方程一般式(General Form)是描述圓的一種形式,它可以用來表示任意位置和半徑的圓。一般式的表達形式是:

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

其中,DEF 分別為方程的係數,xy 分別表示圓上任意一點的座標。一般式中的係數可以通過圓的特定屬性來推導出來,例如圓心座標和半徑等。

圓方程一般式也可以表示為向量形式:

(vec{r} - vec{r_0}) cdot (vec{r} - vec{r_0}) = r^2

其中,vec{r} 表示圓上任意一點的位置向量,vec{r_0} 表示圓心的位置向量,r 表示圓的半徑。向量形式的好處是可以更直觀地描述圓的特徵,例如圓心和半徑等。

與圓方程標準式不同,圓方程一般式不方便計算圓心和半徑,需要經過配方和移項才能轉換為標準式。因此,在解決具體問題時,標準式更為常用和方便。

要計算圓心座標及半徑,可以通過將圓方程一般式轉換成標準式來實現。

具體地,對於圓方程一般式:

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

可以將其變形為:

(x + frac{D}{2})^2 + (y + frac{E}{2})^2 = (frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2})^2

這個形式就是圓方程標準式,其中圓心座標為 (-frac{D}{2}, -frac{E}{2}),半徑為 frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}

因此,通過配方和移項,可以將圓方程一般式轉換成標準式,從而計算圓心座標和半徑。需要注意的是,當 D^2 + E^2 - 4F < 0 時,圓方程沒有實數解,表示沒有實際的圓存在。

總之,圓方程一般式是描述圓的一種形式,可以用來表示任意位置和半徑的圓,但需要經過轉換才能計算出圓心和半徑。

圓方程 標準式 Standard Form 一般式 General Form 轉換

圓方程 一般式 General Form 轉為 標準式 Standard Form

要將圓方程從一般式轉換為標準式,可以按照以下步驟進行:

  1. 將一般式中的常數項移項,將其移到等號右側。這樣可以讓方程左側只剩下 x 和 y 的一次項和二次項。
  2. 將一般式中的一次項項數除以 2,得到 D/2 和 E/2,然後將其添加到左側的 x^2 和 y^2 項中。這樣可以將 x 和 y 的一次項消去,只剩下 x^2 和 y^2 項。
  3. 將左側的 x^2 和 y^2 項合併,得到 (x + D/2)^2 + (y + E/2)^2。
  4. 求出右側的常數項,即 (D/2)^2 + (E/2)^2 - F
  5. 將右側的常數項除以左側的二次項係數,即 1,得到等號右側的半徑平方。
  6. 將等號右側的半徑平方開根號,得到等號右側的半徑。

因此,一般式轉換為標準式的公式為:

(x + D/2)^2 + (y + E/2)^2 = (D^2 + E^2 - 4F)/4

其中,圓心座標為 (-D/2, -E/2),半徑為 sqrt(D^2 + E^2 - 4F)/2

需要注意的是,如果一般式中的係數不是整數或分數,需要先通過通分化為分數形式,再進行轉換。此外,如果一般式中的右側常數項不為零,需要先將其移項,變為等號右側的負數。

圓方程 一般式 General Form 轉為 標準式 Standard Form 例子

假設有一個圓的一般式方程為:

x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0

要將它轉換為標準式,可以按照以下步驟進行:

  1. 將常數項 9 移項,得到:
x^2 + y^2 - 6x - 8y = -9
  1. x 項和 y 項的係數除以 2,得到:
x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = -9 + 9 + 16
  1. 將完全平方形式化簡,得到:
(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4

因此,圓的標準式方程為:

(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4

圓心為 (3,4),半徑為 2

需要注意的是,如果一般式中的係數不是整數或分數,需要先通過通分化為分數形式,再進行轉換。此外,如果一般式中的右側常數項不為零,需要先將其移項,變為等號右側的負數。

圓方程 標準式 Standard Form 轉為 一般式 General Form

要將圓方程從標準式轉換為一般式,可以按照以下步驟進行:

  1. 展開標準式中的平方項,得到:
    x^2 + 2Dx + D^2/4 + y^2 + 2Ey + E^2/4 = F
  1. 將 D^2/4 和 E^2/4 合併為一個常數項 C,得到:
    x^2 + 2Dx + y^2 + 2Ey + C = F
  1. 將 C 和 F 移項,得到:
    x^2 + 2Dx + y^2 + 2Ey = F - C
  1. 將左側的二次項分解為完全平方形式,得到:
    (x + D)^2 - D^2 + (y + E)^2 - E^2 = F - C
  1. 將 D^2 和 E^2 加到等號右側的常數項中,得到:
    (x + D)^2 + (y + E)^2 = F - C + D^2 + E^2
  1. 通過展開平方項,可以得到一般式:
    x^2 + y^2 + Dx + Ey + (C - F + D^2/4 + E^2/4) = 0

因此,標準式轉換為一般式的公式為:

x^2 + y^2 + Dx + Ey + (C - F + D^2/4 + E^2/4) = 0

其中,D 和 E 分別為圓心座標的 x 和 y 分量的相反數,C 為半徑的平方,F 為標準式等號右側的常數項。

需要注意的是,如果標準式中的圓心不是坐標軸的交點,需要先進行平移,讓圓心移至坐標軸的交點。此外,如果標準式中的半徑不是整數或分數,需要先將其平方,再進行轉換。

圓方程 標準式 Standard Form 轉為 一般式 General Form 例子

假設有一個圓的標準式方程為:

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25

要將它轉換為一般式,可以按照以下步驟進行:

  1. 將平方項展開,得到:
x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 25
  1. 將常數項化簡,得到:
x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12
  1. x 項和 y 項的係數分別除以 2,得到:
frac{1}{4}x^2 - 2x + frac{1}{4}y^2 + 3y = 3

因此,圓的一般式方程為:

frac{1}{4}x^2 - 2x + frac{1}{4}y^2 + 3y = 3

需要注意的是,如果標準式中的圓心不是坐標軸的交點,需要先進行平移,讓圓心移至坐標軸的交點。此外,如果標準式中的半徑不是整數或分數,需要先將其平方,再進行轉換。

直線與圓相交 intersection of a straight line and a circle

若要找出一條直線與一個圓的交點,可以按照以下步驟進行:

  1. 確定直線的方程式,假設直線方程式為 y = mx + b
  2. 確定圓的方程式,假設圓方程式為 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2,其中 (a,b) 是圓心的坐標,r 是圓的半徑。
  3. 將直線方程式代入圓方程式,得到一個關於 x 的二次方程式。將它化簡,得到標準二次方程式 ax^2 + bx + c = 0,其中 abc 是常數。
  4. 解二次方程式,得到 x 的兩個解。將每個解分別代入直線方程式,得到相應的 y 值。
  5. 這些 (x,y) 坐標就是直線與圓的交點。

需要注意的是,如果二次方程式沒有實數解,表示直線與圓沒有交點;如果二次方程式有一個實數解,表示直線與圓相切;如果二次方程式有兩個實數解,表示直線與圓相交於兩個點。

另外,如果圓的方程式不是標準形式,需要先將其轉換為標準形式,才能進行計算。

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