Skip to content
全新推出
DSE數學:Functions and Graphs

【Functions and Graphs DSE】函數及其圖像|囊括所有概念+例子

JJ

老師簡介

首席數學導師

🌟科大數學系畢業,專科專教

🌟數學DSE Core + M1 + M2 全科5**⁣

精選課程

2025DSE中六數學課程

  • 課程劃分補底(DSE Lv3+)常規(DSE Lv5+)拔尖(DSE Lv5**)!
  • 滿分導師DSE5**歷程大公開,親自分享獨家高分竅門!
  • 重點課題概念一一解清,為數底差嘅學生打下重要基礎

課程對象:中六

課程導師:JJ, 霍金, Ken Sir

最新文章
考IELTS的五大好處
【IELTS英文】升學必考?一文解釋考IELTS的五大好處!
準備出國升學、想移民外國、或到海外尋找工作新機遇的人均需要向有關學校及國家提供英文能力証明,IELTS是其中一個最多人報考的英語能力考試。在2023年,全球...
【初中英文】Present Perfect Tense, Past Perfect Tense 用法撈到亂曬?一文睇曬初中英文文法重點!
【初中英文】Present Perfect Tense, Past Perfect Tense 用法撈到亂曬?一文睇曬初中英文文法重點!
最近發現,許多學生在使用英文時經常將現在完成式(Present Perfect Tense) 和過去完成式(Past Perfect Tense) 混淆。這不僅影響學生的英文成績,也影響他們以...
BAFS DSE
【懶人包】BAFS DSE 成本會計&財務會計必學必考公式
不少有修讀 BAFS 的同學都抱怨,BAFS 這一科的骨牌效應很重,公式又多又亂又難記。小編曾經都有修讀BAFS,深深明白到記住所有的公式和概念會覺得有一些挑戰。...

文章內容在此精選課程下:

精選課程

2025DSE中六數學課程

  • 課程劃分補底(DSE Lv3+)常規(DSE Lv5+)拔尖(DSE Lv5**)!
  • 滿分導師DSE5**歷程大公開,親自分享獨家高分竅門!
  • 重點課題概念一一解清,為數底差嘅學生打下重要基礎

課程對象:中六

課程導師:JJ, 霍金, Ken Sir

Functions and Graphs 函數及其圖像

在數學中,函數是一個非常重要的概念,它描述了不同數學對象之間的關係。通過函數,我們可以研究數學中各種問題,如數列、微積分、線性代數等。
而圖形則是函數的一種重要表示方式,它可以幫助我們更加直觀地理解函數的性質和特徵。
本文將探討函數和圖形的基本概念、性質和應用,並通過實際例子和練習,幫助讀者更好地理解和應用這些知識。

Functions and Graphs 函數及其圖像 簡介

函數是一種數學工具,描述了一個集合中每個元素與另一個集合中的元素之間的對應關係。一個函數通常表示為 f(x),其中 x 是自變量,而 f(x) 是相應的因變量。當 x 的值改變時,f(x) 的值也會隨之改變。

函數的圖像是函數的視覺表示,它將函數的輸入與輸出值表示為一個平面上的點,稱為座標點。函數的圖像可以用來研究函數的性質和特點,例如函數的定義域、值域、最大值和最小值、斜率和函數的對稱性等等。

認識函數定義域和上域

函數定義域 Domain

在函數中,一個集合中的元素稱為自變量,另一個集合中的元素則稱為應變量。函數通常表示為 f(x),其中 x 是自變量,而 f(x) 是相應的應變量。定義域是自變量可能取值的集合。

例如:

假設有一個函數 f(x) 表示一個人的年齡與其身高的關係。在這個函數中,自變量是人的年齡,應變量是人的身高。函數的定義域可能是 [0, 120],表示人的年齡在 0 到 120 歲之間。

上域 codomain

再以剛才的年齡身高關係作為例子:

假設有一個函數 f(x) 表示一個人的年齡與其身高的關係。在這個函數中,自變量是人的年齡,應變量是人的身高。上域可能是 [100cm, 250cm],表示人的身高在 100 到 250 公分之間。

自變量和應變量

自變量是函數中的獨立變量,其值由函數外部給定。在函數中,自變量決定了應變量的值。在函數表示式 f(x) 中,x 是自變量。

應變量是函數中的依賴變量,其值由函數內部計算得到。在函數中,應變量的值取決於自變量的值。在函數表示式 f(x) 中,f(x) 是應變量。

簡單來說,函數描述了自變量和應變量之間的關係,並將自變量的值映射到相應的應變量值。定義域和上域定義了自變量和應變量可能的取值範圍。

自變量和應變量 例子

  1. 面積函數:

假設有一個函數 A(x) 表示正方形的面積,其中自變量 x 是正方形的邊長,應變量 A(x) 是正方形的面積。在這個函數中,定義域和上域都可能是正實數集合,因為邊長和面積都不能為負數。

例如,如果函數 A(x) 的表示式是 A(x) = x^2,那麼當正方形的邊長為 5 公分時,其面積就是 A(5) = 5^2 = 25 平方公分。

這個函數的圖像是一條斜率為正的曲線,橫軸表示邊長,縱軸表示面積,函數的曲線上每一個點都表示一個邊長與面積的對應關係。

  1. 時間函數:

假設有一個函數 T(x) 表示一個物體從一個高度落下到地面所需要的時間,其中自變量 x 是物體的初始高度,應變量 T(x) 是物體從這個高度落下到地面所需的時間。在這個函數中,定義域可能是正實數集合,因為物體的高度不能為負數,而上域可能是正實數集合,因為時間不能為負數。

認識函數的記法及運用表列、代數和圖像方法來表達函數

函數的記法

函數是一種將一個集合的元素映射到另一個集合的規則,這些集合可以是數字、文字、圖形等等。在數學中,函數可以用不同的方式來表示和運用。

記住!

  1. 一個input對應一個output
  2. 多個input對應同一個output 都可以算是函數 function
  3. 不過一個input對應多個output就不是個合理的函數 function

表達函數方法

一般來說,函數可以用以下三種方法來表示和運用:

  1. 表格方法:將自變量和因變量的值放在表格中,以便更清晰地看到它們之間的關係。
  2. 代數方法:使用符號和公式來表示函數,通常用x表示自變量,用f(x)表示函數的值。
  3. 圖像方法:在坐標系統中繪製函數的圖像,以便更直觀地看到自變量和因變量之間的關係。

例如,以下是一個函數的示例:

f(x) = x^2 + 2x + 1

這個函數可以用表格方法表示:

x f(x)
0 1
1 4
2 9
3 16

它也可以用代數方法表示:

f(x) = x^2 + 2x + 1

最後,它可以用圖像方法表示:

Functions and Graphs

以上三種表示方法可以相互轉換,因此可以根據需要使用其中的任何一種方法。

理解二次函數圖像的特徵

二次函數的一般式為:y = ax^2 + bx + c,其中 a、b、c 為常數,aneq 0。二次函數的圖像通常是一個開口朝上或者開口朝下的拋物線。下面是二次函數圖像的一些特徵:

  1. 開口方向:當 a>0 時,拋物線開口朝上,當 a<0 時,拋物線開口朝下。
  2. 對稱軸:二次函數的圖像在對稱軸上對稱。對稱軸的方程為:x=-frac{b}{2a}
  3. x-截距:二次函數的零點即為方程 y=0 的解。二次函數的x-截距可能有 0、1 或 2 個,公式為:x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}
    1. 如果判別式大於零,即 b^2 - 4ac > 0,方程有兩個不相等的實數解。
    2. 如果判別式等於零,即 b^2 - 4ac = 0,方程有一個實數解,稱為重根。
    3. 如果判別式小於零,即 b^2 - 4ac < 0,方程沒有實數解,有兩個共軛複數解。
  4. 極值點:當拋物線開口朝上時,二次函數的最小值為其頂點;當拋物線開口朝下時,二次函數的最大值為其頂點。頂點的坐標為:(frac{-b}{2a},frac{4ac-b^2}{4a})
  5. 圖像的方向、大小和位置:通過改變二次函數的係數 a、b、c,可以改變圖像的方向、大小和位置。具體地,a 的絕對值越大,拋物線越窄,開口越朝上或者朝下;b 的值可以調整拋物線的位置;c 的值可以調整拋物線的上下移動。

通過這些特徵,我們可以更好地理解和繪製二次函數的圖像。

以代數方法求二次函數的極大值和極小值

要找到一個二次函數的極大值或極小值,可以使用代數方法。假設二次函數的一般形式為:

f(x) = ax² + bx + c

其中a、b、c是實數且a不等於零。

  1. 首先,計算二次函數的導數:f'(x) = 2ax + b
  2. 然後,令導數等於零,解出x的值:
    2ax + b = 0
    x = -b/2a
    這個x值就是函數的極值點。
  3. 接下來,將這個x值代入原函數,得到函數在這個點的值:
    f(-b/2a) = a(-b/2a)² + b(-b/2a) + c
    = a(b²/4a²) – b²/2a + c
    = -b²/4a + c
    這個值就是函數的極值。
  4. 最後,可以通過導數的符號來確定極值的類型。如果導數在極值點左側為正,在右側為負,則函數在該點取得極大值;如果導數在極值點左側為負,在右側為正,則函數在該點取得極小值。

例如,對於函數f(x) = 2x² + 4x – 3,我們可以按照上述步驟計算:

  1. f'(x) = 4x + 4
  2. 4x + 4 = 0,解得x = -1
  3. f(-1) = 2(-1)² + 4(-1) – 3 = -1

所以,函數在x=-1處取得極小值,極小值為-1。

如果大家有什麼補習問題,如私人補習、網上補習好唔好,歡迎你可以隨時再跟我多交流一下,可以Follow 「學博教育中心 Learn Smart Education」 Facebook pageIG得到更多補習課程資訊,亦都可以上我們的補習網頁了解更多!

DSE 數學 文章系列

  1. Quadratic Equation in One Unknown 一元二次方程
  2. Functions and Graphs 函數及其圖像
  3. Equations of Straight Lines 直線方程
  4. More about Polynomials 續多項式 
  5. Exponential Functions 指數函數
  6. Logarithmic Functions 對數函數
  7. More about Equations 續方程
  8. Variations 變分
  9. More about Trigonometry 續三角學 
  10. Basic Properties of Circles 圓的基本性質
  11. Tangents to Circles 圓形切線
  12. Inequalities 不等式
  13. Linear Programming 線性規畫
  14. Applications of Trigonometry in 2-dimensional Problems 二維三角學應用
  15. Applications of Trigonometry in 3-dimensional Problems 三維三角學應用
  16. Equations of Circles 圓方程
  17. Locus 軌跡
  18. Measures of Dispersion 離差的度量
  19. Permutation and Combination 排列與組合
  20. More about Probability 續概率
  21. ASGS 等差數列與等比數列
  22. Uses and Abuses of Statistics 統計的應用及誤用
No data was found

如想了解各科DSE更深入的知識,歡迎瀏覽各科目導師的個人網站:

中文科:Issac Lo 經致中文
英文科:Learn Smart English Team
數學科:GJ Mathematics

更多線上課程:Upgrade HK

立即訂閱最新DSE應試攻略