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DSE數學:Functions and Graphs

【Functions and Graphs DSE】函數及其圖像|囊括所有概念+例子

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Functions and Graphs 函數及其圖像

在數學中,函數是一個非常重要的概念,它描述了不同數學對象之間的關係。通過函數,我們可以研究數學中各種問題,如數列、微積分、線性代數等。
而圖形則是函數的一種重要表示方式,它可以幫助我們更加直觀地理解函數的性質和特徵。
本文將探討函數和圖形的基本概念、性質和應用,並通過實際例子和練習,幫助讀者更好地理解和應用這些知識。

Functions and Graphs 函數及其圖像 簡介

函數是一種數學工具,描述了一個集合中每個元素與另一個集合中的元素之間的對應關係。一個函數通常表示為 f(x),其中 x 是自變量,而 f(x) 是相應的因變量。當 x 的值改變時,f(x) 的值也會隨之改變。

函數的圖像是函數的視覺表示,它將函數的輸入與輸出值表示為一個平面上的點,稱為座標點。函數的圖像可以用來研究函數的性質和特點,例如函數的定義域、值域、最大值和最小值、斜率和函數的對稱性等等。

認識函數定義域和上域

函數定義域 Domain

在函數中,一個集合中的元素稱為自變量,另一個集合中的元素則稱為應變量。函數通常表示為 f(x),其中 x 是自變量,而 f(x) 是相應的應變量。定義域是自變量可能取值的集合。

例如:

假設有一個函數 f(x) 表示一個人的年齡與其身高的關係。在這個函數中,自變量是人的年齡,應變量是人的身高。函數的定義域可能是 [0, 120],表示人的年齡在 0 到 120 歲之間。

上域 codomain

再以剛才的年齡身高關係作為例子:

假設有一個函數 f(x) 表示一個人的年齡與其身高的關係。在這個函數中,自變量是人的年齡,應變量是人的身高。上域可能是 [100cm, 250cm],表示人的身高在 100 到 250 公分之間。

自變量和應變量

自變量是函數中的獨立變量,其值由函數外部給定。在函數中,自變量決定了應變量的值。在函數表示式 f(x) 中,x 是自變量。

應變量是函數中的依賴變量,其值由函數內部計算得到。在函數中,應變量的值取決於自變量的值。在函數表示式 f(x) 中,f(x) 是應變量。

簡單來說,函數描述了自變量和應變量之間的關係,並將自變量的值映射到相應的應變量值。定義域和上域定義了自變量和應變量可能的取值範圍。

自變量和應變量 例子

  1. 面積函數:

假設有一個函數 A(x) 表示正方形的面積,其中自變量 x 是正方形的邊長,應變量 A(x) 是正方形的面積。在這個函數中,定義域和上域都可能是正實數集合,因為邊長和面積都不能為負數。

例如,如果函數 A(x) 的表示式是 A(x) = x^2,那麼當正方形的邊長為 5 公分時,其面積就是 A(5) = 5^2 = 25 平方公分。

這個函數的圖像是一條斜率為正的曲線,橫軸表示邊長,縱軸表示面積,函數的曲線上每一個點都表示一個邊長與面積的對應關係。

  1. 時間函數:

假設有一個函數 T(x) 表示一個物體從一個高度落下到地面所需要的時間,其中自變量 x 是物體的初始高度,應變量 T(x) 是物體從這個高度落下到地面所需的時間。在這個函數中,定義域可能是正實數集合,因為物體的高度不能為負數,而上域可能是正實數集合,因為時間不能為負數。

認識函數的記法及運用表列、代數和圖像方法來表達函數

函數的記法

函數是一種將一個集合的元素映射到另一個集合的規則,這些集合可以是數字、文字、圖形等等。在數學中,函數可以用不同的方式來表示和運用。

記住!

  1. 一個input對應一個output
  2. 多個input對應同一個output 都可以算是函數 function
  3. 不過一個input對應多個output就不是個合理的函數 function

表達函數方法

一般來說,函數可以用以下三種方法來表示和運用:

  1. 表格方法:將自變量和因變量的值放在表格中,以便更清晰地看到它們之間的關係。
  2. 代數方法:使用符號和公式來表示函數,通常用x表示自變量,用f(x)表示函數的值。
  3. 圖像方法:在坐標系統中繪製函數的圖像,以便更直觀地看到自變量和因變量之間的關係。

例如,以下是一個函數的示例:

f(x) = x^2 + 2x + 1

這個函數可以用表格方法表示:

x f(x)
0 1
1 4
2 9
3 16

它也可以用代數方法表示:

f(x) = x^2 + 2x + 1

最後,它可以用圖像方法表示:

Functions and Graphs

以上三種表示方法可以相互轉換,因此可以根據需要使用其中的任何一種方法。

理解二次函數圖像的特徵

二次函數的一般式為:y = ax^2 + bx + c,其中 a、b、c 為常數,aneq 0。二次函數的圖像通常是一個開口朝上或者開口朝下的拋物線。下面是二次函數圖像的一些特徵:

  1. 開口方向:當 a>0 時,拋物線開口朝上,當 a<0 時,拋物線開口朝下。
  2. 對稱軸:二次函數的圖像在對稱軸上對稱。對稱軸的方程為:x=-frac{b}{2a}
  3. x-截距:二次函數的零點即為方程 y=0 的解。二次函數的x-截距可能有 0、1 或 2 個,公式為:x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}
    1. 如果判別式大於零,即 b^2 - 4ac > 0,方程有兩個不相等的實數解。
    2. 如果判別式等於零,即 b^2 - 4ac = 0,方程有一個實數解,稱為重根。
    3. 如果判別式小於零,即 b^2 - 4ac < 0,方程沒有實數解,有兩個共軛複數解。
  4. 極值點:當拋物線開口朝上時,二次函數的最小值為其頂點;當拋物線開口朝下時,二次函數的最大值為其頂點。頂點的坐標為:(frac{-b}{2a},frac{4ac-b^2}{4a})
  5. 圖像的方向、大小和位置:通過改變二次函數的係數 a、b、c,可以改變圖像的方向、大小和位置。具體地,a 的絕對值越大,拋物線越窄,開口越朝上或者朝下;b 的值可以調整拋物線的位置;c 的值可以調整拋物線的上下移動。

通過這些特徵,我們可以更好地理解和繪製二次函數的圖像。

以代數方法求二次函數的極大值和極小值

要找到一個二次函數的極大值或極小值,可以使用代數方法。假設二次函數的一般形式為:

f(x) = ax² + bx + c

其中a、b、c是實數且a不等於零。

  1. 首先,計算二次函數的導數:f'(x) = 2ax + b
  2. 然後,令導數等於零,解出x的值:
    2ax + b = 0
    x = -b/2a
    這個x值就是函數的極值點。
  3. 接下來,將這個x值代入原函數,得到函數在這個點的值:
    f(-b/2a) = a(-b/2a)² + b(-b/2a) + c
    = a(b²/4a²) – b²/2a + c
    = -b²/4a + c
    這個值就是函數的極值。
  4. 最後,可以通過導數的符號來確定極值的類型。如果導數在極值點左側為正,在右側為負,則函數在該點取得極大值;如果導數在極值點左側為負,在右側為正,則函數在該點取得極小值。

例如,對於函數f(x) = 2x² + 4x – 3,我們可以按照上述步驟計算:

  1. f'(x) = 4x + 4
  2. 4x + 4 = 0,解得x = -1
  3. f(-1) = 2(-1)² + 4(-1) – 3 = -1

所以,函數在x=-1處取得極小值,極小值為-1。

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