【Equations of Circles DSE】圓方程【詳解】
Equations of Circles 圓方程
圓是數學中一個重要的圖形，它的方程式可以用來描述圓的位置和形狀。在二維平面直角坐標系中，圓可以由一個中心點和一個半徑來描述，其方程式可以表示為 (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2，其中 (a, b) 表示圓心的坐標，r 表示半徑的長度。
本文將介紹圓的方程式及其應用，並提供一些例題供讀者練習。讀者在閱讀本文後，將能夠更好地理解圓的性質和應用，並能夠熟練地應用圓的方程式進行問題求解。
Equations of Circles 圓方程 簡介
圓方程（Equations of Circles）是描述平面上圓的幾何形狀的代數表達式。一個圓可以由一個中心點和一個半徑來定義。給定圓的中心點坐標 (h,k)(h, k)(h,k) 和半徑 rrr，我們可以將圓上的所有點 (x,y)(x, y)(x,y) 用以下標準圓方程來表示：
(x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2(x−h)2+(y−k)2=r2
這個方程根據勾股定理得出：圓上任意一點到圓心的距離等於半徑，即 sqrt(x−h)2+(y−k)2=rsqrt{(x - h)^2 + (y - k)^2} = rsqrt(x−h)2+(y−k)2=r。平方兩邊後得到上述標準圓方程。
示例：
圓心為原點 (0,0)(0, 0)(0,0)，半徑為 555 的圓方程為：x2+y2=25x^2 + y^2 = 25x2+y2=25。
圓心在點 (3,−4)(3, -4)(3,−4)，半徑為 666 的圓方程為：(x−3)2+(y+4)2=36(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 36(x−3)2+(y+4)2=36。
除了標準圓方程外，還有一種廣義圓方程：
Ax2+By2+Cx+Dy+E=0Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0Ax2+By2+Cx+Dy+E=0
其中，AAA 和 BBB 均為正數，且 A=BA = BA=B。這種廣義圓方程可以通過變換轉化為標準圓方程。通過觀察方程的係數，我們可以找到圓心和半徑的坐標。
圓方程在解析幾何、代數和微積分等數學領域都有應用。例如，我們可以通過圓方程求解兩圓之間的位置關係（相交、相切、相離），計算圓周長和麵積，以及找到與直線、拋物線等其他曲線的交點。
圓方程 標準式 Standard Form
圓方程標準式（Standard Form）是表示圓的一種標準形式，它的一般形式為：
(x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2(x−h)2+(y−k)2=r2
其中，(h, k)表示圓心的座標，r表示圓的半徑。
具體來說，標準式中的 (x−h)2和(y−k)2(x - h)^2 和 (y - k)^2(x−h)2和(y−k)2 分別代表圓心到圓上任意一點的水平距離和垂直距離的平方和，也就是圓心到這個點的距離的平方。而 r 則代表這個距離的平方根，也就是圓的半徑。
在圓的幾何性質中，圓心是圓的中心點，半徑是從圓心到圓上任意一點的距離。因此，標準式中的 (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2(x−h)2+(y−k)2=r2 就是描述圓的基本屬性，可以通過圓心和半徑來確定圓的位置和大小。
標準式也可以用來轉換其他形式的圓方程，例如，若已知圓的一般式方程為 Ax2+Ay2+Bx+Cy+D=0Ax^2 + Ay^2 + Bx + Cy + D = 0Ax2+Ay2+Bx+Cy+D=0，則可以通過配方和移項將它轉換為標準式。具體的步驟可以參考高中數學教材中的相關內容。
總之，圓方程標準式是描述圓的一種基本形式，它可以通過圓心和半徑來確定圓的位置和大小，也可以用來轉換其他形式的圓方程。
圓方程 一般式 General Form
圓方程一般式（General Form）是描述圓的一種形式，它可以用來表示任意位置和半徑的圓。一般式的表達形式是：
x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0x2+y2+Dx+Ey+F=0
其中，DDD、EEE、FFF 分別為方程的係數，xxx 和 yyy 分別表示圓上任意一點的座標。一般式中的係數可以通過圓的特定屬性來推導出來，例如圓心座標和半徑等。
圓方程一般式也可以表示為向量形式：
(vecr−vecr0)cdot(vecr−vecr0)=r2(vec{r} - vec{r_0}) cdot (vec{r} - vec{r_0}) = r^2(vecr−vecr0)cdot(vecr−vecr0)=r2
其中，vecrvec{r}vecr 表示圓上任意一點的位置向量，vecr0vec{r_0}vecr0 表示圓心的位置向量，rrr 表示圓的半徑。向量形式的好處是可以更直觀地描述圓的特徵，例如圓心和半徑等。
與圓方程標準式不同，圓方程一般式不方便計算圓心和半徑，需要經過配方和移項才能轉換為標準式。因此，在解決具體問題時，標準式更為常用和方便。
要計算圓心座標及半徑，可以通過將圓方程一般式轉換成標準式來實現。
具體地，對於圓方程一般式：
x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0x2+y2+Dx+Ey+F=0
可以將其變形為：
(x+fracD2)2+(y+fracE2)2=(fracsqrtD2+E2−4F2)2(x + frac{D}{2})^2 + (y + frac{E}{2})^2 = (frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2})^2(x+fracD2)2+(y+fracE2)2=(fracsqrtD2+E2−4F2)2
這個形式就是圓方程標準式，其中圓心座標為 (−fracD2,−fracE2)(-frac{D}{2}, -frac{E}{2})(−fracD2,−fracE2)，半徑為 fracsqrtD2+E2−4F2frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}fracsqrtD2+E2−4F2。
因此，通過配方和移項，可以將圓方程一般式轉換成標準式，從而計算圓心座標和半徑。需要注意的是，當 D2+E2−4F<0D^2 + E^2 - 4F < 0D2+E2−4F<0 時，圓方程沒有實數解，表示沒有實際的圓存在。
總之，圓方程一般式是描述圓的一種形式，可以用來表示任意位置和半徑的圓，但需要經過轉換才能計算出圓心和半徑。
圓方程 標準式 Standard Form 一般式 General Form 轉換
圓方程 一般式 General Form 轉為 標準式 Standard Form
要將圓方程從一般式轉換為標準式，可以按照以下步驟進行：
將一般式中的常數項移項，將其移到等號右側。這樣可以讓方程左側只剩下 x 和 y 的一次項和二次項。
將一般式中的一次項項數除以 2，得到 D/2 和 E/2，然後將其添加到左側的 x^2 和 y^2 項中。這樣可以將 x 和 y 的一次項消去，只剩下 x^2 和 y^2 項。
將左側的 x^2 和 y^2 項合併，得到 (x+D/2)2+(y+E/2)2。(x + D/2)^2 + (y + E/2)^2。(x+D/2)2+(y+E/2)2。
求出右側的常數項，即 (D/2)2+(E/2)2−F(D/2)^2 + (E/2)^2 - F(D/2)2+(E/2)2−F。
將右側的常數項除以左側的二次項係數，即 1，得到等號右側的半徑平方。
將等號右側的半徑平方開根號，得到等號右側的半徑。
因此，一般式轉換為標準式的公式為：
(x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2−4F)/4(x + D/2)^2 + (y + E/2)^2 = (D^2 + E^2 - 4F)/4(x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2−4F)/4
其中，圓心座標為 (−D/2,−E/2)(-D/2, -E/2)(−D/2,−E/2)，半徑為 sqrt(D2+E2−4F)/2sqrt(D^2 + E^2 - 4F)/2sqrt(D2+E2−4F)/2。
需要注意的是，如果一般式中的係數不是整數或分數，需要先通過通分化為分數形式，再進行轉換。此外，如果一般式中的右側常數項不為零，需要先將其移項，變為等號右側的負數。
圓方程 一般式 General Form 轉為 標準式 Standard Form 例子
假設有一個圓的一般式方程為：
x2+y2−6x−8y+9=0x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0x2+y2−6x−8y+9=0
要將它轉換為標準式，可以按照以下步驟進行：
將常數項 999 移項，得到：
x2+y2−6x−8y=−9x^2 + y^2 - 6x - 8y = -9x2+y2−6x−8y=−9
將 xxx 項和 yyy 項的係數除以 222，得到：
x2−6x+9+y2−8y+16=−9+9+16x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = -9 + 9 + 16x2−6x+9+y2−8y+16=−9+9+16
將完全平方形式化簡，得到：
(x−3)2+(y−4)2=4(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4(x−3)2+(y−4)2=4
因此，圓的標準式方程為：
(x−3)2+(y−4)2=4(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4(x−3)2+(y−4)2=4
圓心為 (3,4)(3,4)(3,4)，半徑為 222。
需要注意的是，如果一般式中的係數不是整數或分數，需要先通過通分化為分數形式，再進行轉換。此外，如果一般式中的右側常數項不為零，需要先將其移項，變為等號右側的負數。
圓方程 標準式 Standard Form 轉為 一般式 General Form
要將圓方程從標準式轉換為一般式，可以按照以下步驟進行：
展開標準式中的平方項，得到：
x2+2Dx+D2/4+y2+2Ey+E2/4=Fx^2 + 2Dx + D^2/4 + y^2 + 2Ey + E^2/4 = Fx2+2Dx+D2/4+y2+2Ey+E2/4=F
將 D^2/4 和 E^2/4 合併為一個常數項 C，得到：
x2+2Dx+y2+2Ey+C=Fx^2 + 2Dx + y^2 + 2Ey + C = Fx2+2Dx+y2+2Ey+C=F
將 C 和 F 移項，得到：
x2+2Dx+y2+2Ey=F−Cx^2 + 2Dx + y^2 + 2Ey = F - Cx2+2Dx+y2+2Ey=F−C
將左側的二次項分解為完全平方形式，得到：
(x+D)2−D2+(y+E)2−E2=F−C(x + D)^2 - D^2 + (y + E)^2 - E^2 = F - C(x+D)2−D2+(y+E)2−E2=F−C
將 D^2 和 E^2 加到等號右側的常數項中，得到：
(x+D)2+(y+E)2=F−C+D2+E2(x + D)^2 + (y + E)^2 = F - C + D^2 + E^2(x+D)2+(y+E)2=F−C+D2+E2
通過展開平方項，可以得到一般式：
x2+y2+Dx+Ey+(C−F+D2/4+E2/4)=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + (C - F + D^2/4 + E^2/4) = 0x2+y2+Dx+Ey+(C−F+D2/4+E2/4)=0
因此，標準式轉換為一般式的公式為：
x2+y2+Dx+Ey+(C−F+D2/4+E2/4)=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + (C - F + D^2/4 + E^2/4) = 0x2+y2+Dx+Ey+(C−F+D2/4+E2/4)=0
其中，D 和 E 分別為圓心座標的 x 和 y 分量的相反數，C 為半徑的平方，F 為標準式等號右側的常數項。
需要注意的是，如果標準式中的圓心不是坐標軸的交點，需要先進行平移，讓圓心移至坐標軸的交點。此外，如果標準式中的半徑不是整數或分數，需要先將其平方，再進行轉換。
圓方程 標準式 Standard Form 轉為 一般式 General Form 例子
假設有一個圓的標準式方程為：
(x−2)2+(y+3)2=25(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25(x−2)2+(y+3)2=25
要將它轉換為一般式，可以按照以下步驟進行：
將平方項展開，得到：
x2−4x+4+y2+6y+9=25x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 25x2−4x+4+y2+6y+9=25
將常數項化簡，得到：
x2−4x+y2+6y=12x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12x2−4x+y2+6y=12
將 xxx 項和 yyy 項的係數分別除以 222，得到：
frac14x2−2x+frac14y2+3y=3frac{1}{4}x^2 - 2x + frac{1}{4}y^2 + 3y = 3frac14x2−2x+frac14y2+3y=3
因此，圓的一般式方程為：
frac14x2−2x+frac14y2+3y=3frac{1}{4}x^2 - 2x + frac{1}{4}y^2 + 3y = 3frac14x2−2x+frac14y2+3y=3
需要注意的是，如果標準式中的圓心不是坐標軸的交點，需要先進行平移，讓圓心移至坐標軸的交點。此外，如果標準式中的半徑不是整數或分數，需要先將其平方，再進行轉換。
直線與圓相交 intersection of a straight line and a circle
若要找出一條直線與一個圓的交點，可以按照以下步驟進行：
確定直線的方程式，假設直線方程式為 y=mx+by = mx + by=mx+b。
確定圓的方程式，假設圓方程式為 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2(x−a)2+(y−b)2=r2，其中 (a,b)(a,b)(a,b) 是圓心的坐標，rrr 是圓的半徑。
將直線方程式代入圓方程式，得到一個關於 xxx 的二次方程式。將它化簡，得到標準二次方程式 ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0，其中 aaa、bbb、ccc 是常數。
解二次方程式，得到 xxx 的兩個解。將每個解分別代入直線方程式，得到相應的 yyy 值。
這些 (x,y)(x,y)(x,y) 坐標就是直線與圓的交點。
需要注意的是，如果二次方程式沒有實數解，表示直線與圓沒有交點；如果二次方程式有一個實數解，表示直線與圓相切；如果二次方程式有兩個實數解，表示直線與圓相交於兩個點。
另外，如果圓的方程式不是標準形式，需要先將其轉換為標準形式，才能進行計算。
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