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DSE數學:Quadratic Equations in One Unknown 一元二次方程

【Quadratic Equations in One Unknown DSE】一元二次方程【完整指南】

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Quadratic Equations in One Unknown

「一元二次方程式」,簡稱二次方程式,在數學以及各個科學領域中已經被研究和使用了數個世紀。

這種方程式涉及一個未知變量的平方,可以表示為 ax^2 + bx + c = 0 的形式,其中 a、b 和 c 是常數。

研究二次方程式在代數、微積分和其他數學分支的發展中發揮了關鍵作用,並且在物理學、工程學和經濟學等領域中有著眾多實際應用。

在本文中,我們將探討二次方程式的基本知識、求解方法以及一些常見的解法技巧。

Quadratic Equations in One Unknown

Quadratic Equations in One Unknown 一元二次方程是指一條方程式裏有一個未知數,而未知數的次方最大是2次方。

例如:

ax^2+bx+c = 0 
x^2+ax+b = 0 
y^2+c = 0

解二元一次方程 方法

以因式法解二次方程

要使用因式法解二次方程,我們需要找到一個可行的因式來分解方程式。這種方法通常適用於以下類型的方程:

ax^2 + bx + c = 0

其中a,b和c是已知係數。接下來,我們將介紹解決這種類型的方程的步驟:

  1. 首先,找出a,b和c的值。
  2. 接著,嘗試找到一個因式組合,其乘積為ac,且其和為b。
  3. 將方程重寫為兩個括號的乘積形式,例如:(mx + n)(px + q) = 0,其中m,n,p和q是常數。
  4. 將兩個因式分別設置為零,解出x的值。

下面是一個例子,演示瞭如何使用因式法解二次方程:

例:解方程x^2 - 5x + 6 = 0

  1. 首先,我們確定a,b和c的值:a = 1,b = -5,c = 6。
  2. 接著,我們需要找到一個因式組合,其乘積為ac,且其和為b。在這個例子中,ac = 1×6 = 6,而b = -5。因此,我們需要找到兩個數,它們的乘積為6,且它們的和為-5。這些數字是-2和-3。
  3. 將方程重寫為兩個括號的乘積形式:(x - 2)(x - 3) = 0
  4. 將兩個因式分別設置為零:
    x – 2 = 0 或 x – 3 = 0
    x = 2 或 x = 3

Quadratic Equations in One Unknown Calculator

以這條一元二次方程為例:

x^2 - 5x + 6 = 0

同學可以使用fx-50FH/fx-50FHII的formula。

  1. 先按formula然後按01
  2. ax^2 + bx + c = 0的形式輸入a b c
  3. 1 EXE -5 EXE 6
  4. 同學會得到2 EXE 3
  5. 即是說x = 2 或 x = 3
  6. 不過,因為我們要step分,所以反推斷兩個括號:
    (x - 2)(x - 3) = 0

再舉例子:

  1. 6x^2 - 5x + 1 = 0
  2. ax^2 + bx + c = 0的形式輸入a b c
  3. 6 EXE -5 EXE 1
  4. 同學會得到1/2 EXE 1/3
  5. 即是說x = 1/2 或 x = 1/3
  6. 反推斷兩個括號:
    (2x - 1)(3x - 1) = 0

以二次公式解二次方程

二次公式解二次方程 Quadratic Formula:

針對ax^2 + bx + c = 0 其中 a、b、c 是實數,且 a ≠ 0。

x=(-bpmsqrt(b^2-4ac))/2a

其中,± 表示取兩個值,一個加號,一個減號,分別代表兩個解。sqrt 表示平方根,即開根號,b^2 – 4ac 被稱為判別式,用於判斷方程的解的情況:

  1. 如果判別式大於零,即 b^2 - 4ac > 0,方程有兩個不相等的實數解。
  2. 如果判別式等於零,即 b^2 - 4ac = 0,方程有一個實數解,稱為重根。
  3. 如果判別式小於零,即 b^2 - 4ac < 0,方程沒有實數解,有兩個共軛複數解。

例子:

解方程 x^2 + 3x – 4 = 0

a = 1, b = 3, c = -4

判別式為 b^2 – 4ac = 3^2 – 4(1)(-4) = 25

因為判別式大於零,方程有兩個不相等的實數解。

x = (-3 ± sqrt(25)) / 2(1) = (-3 ± 5) / 2

因此,方程的解為 x = -4 或 x = 1。

反推斷兩個括號的方法更上述的方法一樣,這裏就不贅述。

以圖像解二次方程

解二次方程的另一種方法是通過繪製二次函數的圖像來觀察方程的解。二次函數的一般形式為:

f(x) = ax^2 + bx + c

其中 a、b、c 是實數,且 a ≠ 0。二次函數的圖像是一個開口向上或開口向下的拋物線,其頂點坐標為:

(-b/2a, f(-b/2a))

其中 -b/2a 是拋物線的對稱軸,f(-b/2a) 是拋物線的最值。

如果二次函數與 x 軸相交於兩個點,那麼方程有兩個實數解。如果二次函數與 x 軸相交於一個點,那麼方程有一個實數解。如果二次函數沒有與 x 軸相交,那麼方程沒有實數解。

例如,對於方程 x^2 - 3x + 2 = 0,我們可以繪製二次函數 y = x^2 - 3x + 2 的圖像:

quadratic equation in one unknown

從圖中可以看出,二次函數與 x 軸相交於 x = 1 和 x = 2,因此方程的解為 x = 1 和 x = 2。

二次方程 根與係數的關係

針對ax^2 + bx + c = 0 其中 a、b、c 是實數,且 a ≠ 0。

具體來說,二次方程的兩個根 x_1x_2 滿足以下關係:

x_1 + x_2 = -b / a
x_1x_2 = c / a

由已知根建立二次方程

兩個括號相乘

對於ax^2 + bx + c = 0 其中 a、b、c 是實數,且 a ≠ 0。

我們已知二次方程的兩個根 x_1x_2 

具體步驟如下:

  1. 建立括號 (x-x_1)(x-x_2)

  2. 展開括號,得到 x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2

  3. 因為二次方程的一般形式為 ax^2+bx+c=0,因此需要將展開後的式子與一般形式進行比較,得到以下方程組:

a = 1
b = -(x_1 + x_2)
c = x_1x_2

  1. 根據上述方程組解出 a, b, c 的值,便可得到所求的二次方程 ax^2+bx+c=0

例如,已知二次方程的兩個根為 x_1 = 2x_2 = 3

我們則可以建立括號 (x-2)(x-3)

展開得到 x^2 - 5x + 6

因此所求的二次方程為 x^2 - 5x + 6 = 0

注意:如果a, b, c 是分數,我們會倍大整條二次方程,使得a, b, c 是整數。

使用兩根之和 兩根之積

假設已知二次方程的兩個根為 x_1x_2,則我們可以使用兩根之和和兩根之積的概念建立方程。

兩根之和:x_1 + x_2

兩根之積:x_1 x_2

現在我們可以建立一個二次方程,其中 a、b 和 c 是待求解的係數:

ax^2 + bx + c = 0

利用兩根之和和兩根之積的概念,我們可以得到以下的方程組:

begin{aligned}x_1 + x_2 &= -frac{b}{a} x_1 x_2 &= frac{c}{a}end{aligned}

現在我們可以解這個方程組來求出 a、b 和 c:

begin{aligned}a &= 1 b &= -(x_1 + x_2) c &= x_1 x_2end{aligned}

因此,我們可以使用兩根之和和兩根之積的概念來建立二次方程,並求出方程的係數。

注意:如果a, b, c 是分數,我們會倍大整條二次方程,使得a, b, c 是整數。

理解二次方程的判別式與其根的性質之關係

二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0,其中 a,b,c 是實數且 a neq 0。它的判別式是 D = b^2 - 4ac,它決定了二次方程的根的性質。具體來說,二次方程的根可以分為以下三種情況:

當 D > 0 時,方程有兩個不相等的實根。這時候,方程的根公式為 x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}。其中,sqrt{D} 表示方程的兩個實根的差的絕對值,即 sqrt{D} = |x_1 - x_2|。因此,判別式 D 的值越大,方程的兩個根之間的差距就越大。

當 D = 0 時,方程有兩個相等的實根,即兩個根重合。這時,方程的根公式為 x=frac{-b}{2a}。因此,當判別式 D=0 時,方程的兩個根相等,它們的差距為零。

當 D < 0 時,方程沒有實根,而是有兩個共軛复根,即它們都是形如 x = a + bi 的複數,其中 a 和 b 都是實數,而 i 是虛數單位,滿足 i^2 = -1。在這種情況下,判別式 D 的值越小,方程的兩個虛根之間的差距就越小。

綜上所述,二次方程的判別式 D 決定了方程的根的性質,包括它們的數量、是否相等以及是否為實數。因此,判別式是解決二次方程根的性質的關鍵。

由繪畫拋物線 y = ax^2 + bx + c 的圖像及讀
取該圖像的 x 截距解方 程 ax^2 + bx + c = 0

首先,我們可以使用拋物線的一些基本性質來獲得方程的 x 截距。拋物線的 x 截距是指拋物線和 x 軸的交點,也就是當 y=0 時,拋物線所對應的 x 值。因此,我們可以把方程中的 y 替換為 0,來求解方程的 x 截距:

begin{aligned} ax^2 + bx + c &= 0 x &= frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} end{aligned}

這是二次方程的根公式。在這個公式中,b^2 - 4ac 的值就是判別式 D。如果 D > 0,那麼方程會有兩個不同的實根,這意味著拋物線會和 x 軸交於兩個不同的點。

如果 D = 0,那麼方程會有一個重複的實根,這意味著拋物線會和 x 軸交於一個點。

如果 D < 0,那麼方程會沒有實根,這意味著拋物線不會和 x 軸交於任何點。

接下來,我們可以使用這個方程來繪製拋物線的圖像,以便更好地理解方程和它的 x 截距。以下是一個拋物線的例子:

這個拋物線的方程是 y = 2x^2 - 4x + 1,我們可以使用這個方程來求解它的 x 截距:

二次方程

begin{aligned} 2x^2 - 4x + 1 &= 0 x &= frac{4 pm sqrt{(-4)^2 - 4 cdot 2 cdot 1}}{2 cdot 2} x &= frac{4 pm sqrt{8}}{4} x &= 1 pm frac{sqrt{2}}{2} end{aligned}

因此,這個拋物線和 x 軸交於 x = 1 + frac{sqrt{2}}{2} 和 x = 1 - frac{sqrt{2}}{2} 這兩個點。

這些點也可以在上圖中看到,它們是拋物線和 x 軸的交點。

欣賞數系(包括複數系)的發展

數學中的數係是指數的集合,這些數有特定的性質和運算。數系的發展一直是數學研究的一個重要方向,其中數學家們特別關注的是數系的性質和它們之間的關係。

在歷史上,數學家們創造了多個不同的數系,其中最基本的是自然數、整數、有理數和實數。以下是這些數系的簡要介紹:

  1. 自然數:自然數是最基本的數系,包括正整數1、2、3、4、5……。自然數的運算有加法、乘法等。
  2. 整數:整數是自然數和它們的負數和0的集合。整數的運算也有加法、乘法等,另外還有減法和整除運算。
  3. 有理數:有理數是可以表示為分數的數,即可以表示為兩個整數的比例的數。有理數的運算包括加、減、乘、除等。
  4. 實數:實數是包括有理數和無理數的數的集合。實數的運算同樣包括加、減、乘、除等。

此外,數學家還創造了其他重要的數系,例如:

  1. 複數:複數是可以表示為 a+bi 的形式,其中 a 和 b 是實數,而 i 是一個虛數單位(i^2=-1)。複數的運算包括加、減、乘、除等。

總的來說,數系的發展是數學發展的重要組成部分,這些數系的創建和研究促進了數學理論的發展。

進行複數的加、減、乘 和 除運算

複數是由實數和虛數部分組成的數,通常用符號 z=a+bi 表示,其中 a 和 b 都是實數,而 i 是虛數單位,滿足 i^2=-1。複數的加、減、乘和除運算如下:

  1. 複數的加法:將兩個複數的實部和虛部分別相加即可,即: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

  2. 複數的減法:將第二個複數取負,再進行加法運算即可,即: (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i

  3. 複數的乘法:將兩個複數的實部和虛部按照乘法公式展開,然後進行化簡即可,即: (a+bi) × (c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i

  4. 複數的除法:將分子和分母同乘以分母的共軛複數,即分子和分母的實部不變,虛部取相反數,然後進行化簡即可,即: (a+bi) ÷ (c+di) = (a+bi) × (c-di) ÷ (c+di) × (c-di) = [(ac+bd) + (bc-ad)i] ÷ (c^2+d^2)

需要注意的是,當分母為零時,複數除法沒有定義,此時應當特別處理。

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