圓心至弦的垂線(Perpendiculars to Chords)
圓心至弦的垂線平分弦(perpendicular from centre to chord bisects chord)
定理敘述如下：如果在一個圓中，從圓心引一條垂直於弦的線，則這條線會平分該弦。
換句話說，如果一條弦的中垂線通過圓心，那麼這條弦就會被平分成兩等分。
這個定理可以用來解決各種與弦有關的問題，例如計算弦的長度、確定圓心位置等。
圓心至弦中點的連線垂直弦(line joining centre to mid-pt. of chord ⊥ chord)
定理敘述如下：如果在一個圓中，從圓心引一條連接圓心和弦中點的線，則這條線會垂直於該弦。
換句話說，如果一條線段連接圓心和弦中點，那麼這條線段就會與弦垂直。
這個定理可以用來解決各種與圓和弦有關的問題，例如確定圓心位置、計算弦的長度、確定弦的位置等。
弦的垂直平分線穿過圓心( ⊥ bisector of chord passes through centre)
定理敘述如下：一條弦的垂直平分線會穿過圓心。
換句話說，如果一條弦有一條垂直於它且平分它的線，那麼這條垂直平分線會穿過圓心。
這個定理可以用來解決各種與圓和弦有關的問題，例如確定圓心位置、計算弦的長度、確定弦的位置等。
圓形等弦(equal chords of a circle)
等弦心距對等弦(chords equidistant from centre are equal)
「等弦對等弦心距定理」是指對於一個圓，如果有兩條等長的弦，則它們到圓心的距離也相等。
具體而言，假設圓心為O，圓上有兩條等長的弦AB和CD，且它們的交點為E。則OE和OD的長度相等，OE和OA的長度相等。
這個定理可以用幾何或向量法來證明。其中一種證明方法如下：
- 連接OE、OD、OA三條線段。
- 由於弦AB和CD相等，所以AE＝BE，CE＝DE，且AE＝CE。
- 根據圓心角定理，OE和OD分別是圓弧AB和CD所對應的圓心角的平分線，因此OE和OD相等。
- 同樣地，OE和OA分別是圓弧AB和圓弧AC所對應的圓心角的平分線，因此OE和OA相等。
因此，等弦對等弦心距定理成立，即兩條等長的弦到圓心的距離也相等。
等弦對等弦心距(equal chords, equidistant from centre)
「等弦心距對等弦定理」是指對於一個圓，如果有兩條弦到圓心的距離相等，則它們的長度也相等。
具體而言，假設圓心為O，圓上有兩條弦AB和CD，且它們到圓心的距離相等。若兩條弦不相等，假設AB比CD長。則AB的中點M到圓心的距離大於CD的中點N到圓心的距離，與已知矛盾。因此，假設不成立，即兩條弦的長度相等。
這個定理可以用幾何或向量法來證明。其中一種證明方法如下：
- 連接弦AB和CD的中點M和N，以及圓心O。
- 由於OM和ON相等，且分別垂直於弦AB和CD，所以△OMA和△ONC是相似三角形，且比例為1:1。
- 由於MA和NC分別是弦AB和CD到圓心的距離，且相等，因此弦AB和CD的長度也相等。
因此，等弦心距對等弦定理成立，即兩條到圓心距離相等的弦的長度也相等。
圓的角(Relationship between Angle in Circle)
圓心角兩倍於圓周角 (∠ at centre twice ∠ at circumference)
圓心角兩倍於圓周角這個定理是指，當一個圓中存在一個圓心角和一個與之相對的圓周角時，這個圓心角的大小是圓周角大小的兩倍。
圓心角是由圓心和圓周上兩個點所形成的角度。而圓周角是由圓周上兩個點所形成的角度。
在一個圓中，如果一個圓心角和一個與之相對的圓周角都對應於相同的弧，那麼這個定理就成立。此時，圓心角的角度是圓周角角度的兩倍。
這個定理可以用來解決各種與圓有關的問題，例如計算弧長、扇形面積等。
半圓上的圓周角(∠ in semi-circle)
半圓上的圓周角是指在一個半圓上所對應的圓周角，也就是由半圓上的任意兩個點所形成的角度。
由於半圓的圓心角度數為 180 度，因此半圓上所對應的圓周角大小也為 180 度。
換句話說，如果一個圓上有一個半圓，那麼由半圓上的任意兩點所形成的圓周角大小皆為 180 度。
半圓上的圓周角定理是解決與半圓有關的問題時非常有用的工具，例如計算半圓的周長、面積等。
半圓上的圓周角的逆定理(converse of ∠ in semi-circle)
半圓上的圓周角的逆定理是指，如果一個圓周角的大小為 180 度，那麼它一定對應於圓上的一個半圓。
這個逆定理可以用來確定一個圓周角所對應的半圓，或確定圓上的一個半圓。
半圓上的圓周角定理和逆定理是解決與圓和半圓有關的問題時非常有用的工具，例如計算弧長、弧度、面積等。
同弓形內的圓周角(∠s in the same segment)
同弓形內的圓周角是指在一個弧形內所對應的圓周角，也就是由弧形上的任意兩個點所形成的角度。
在同一個弧形內，不同的圓周角的大小可以不同。但是，如果兩個圓周角所對應的弧形大小相等，那麼它們所對應的圓周角大小也相等。
這個定理可以用來解決各種與弧形和圓周角有關的問題，例如計算弧長、扇形面積等。
需要特別注意的是，同弓形內的圓周角定理只適用於弧形而不適用於整個圓周。在整個圓周上，任意兩點所對應的圓周角都是相等的，大小均為360度。
等角等弧等弦(Equal Relations among Angles, Arcs and Chords)
圓心角、弧、弦三角人有一個很「曖昧」的三角關係。
在圓形中，角度、弧和弦之間有許多相等關係。這些關係對於幾何學非常重要，可以用來解決與圓形相關的不同問題。
例如：
等長弦所對應的角相等：
在圓形中，如果兩條弦相等，那麼它們所對應的圓心角度也相等。等長弦所對應的弧相等：
在圓形中，如果兩條弦對應的弧相等，那麼這兩條弦也相等。同一弧段的角度相等：
在圓形中，如果兩條弦在圓周上的一個交點相交，那麼在同一弧段中形成的角度相等。
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