Skip to content

【More about Polynomials DSE】續多項式|涵蓋所有概念【完整指南】

最新文章
BAFS DSE
【懶人包】BAFS DSE 成本會計&財務會計必學必考公式
不少有修讀 BAFS 的同學都抱怨,BAFS 這一科的骨牌效應很重,公式又多又亂又難記。小編曾經都有修讀BAFS,深深明白到記住所有的公式和概念會覺得有一些挑戰。  ...
中國文學dse
【中國文學dse】28篇範文如何溫?披露賞析和創作高分秘技
不論你是喜歡中文而修讀中國文學科,還是被學校逼修讀,只要你需要考中國文學dse,你便需要看這一篇文章,幫你重啓文學科的希望!很多同學剛修讀中國文學一聽到dse需要背誦28篇指定篇章,再想到加上中文科的12篇範文(按篇數來說是15篇),共需背誦最少40篇的範文,他們便害怕了。不論任何科目都有一些考試策略,即使是中國文學科也有!這篇文章再全面教你如何溫習中國文學科的範文,並公開一些中國文學dse 5** 學生賞析及創作的高分秘訣。 目錄 中國文學28篇指定篇章是甚麼?...
大學面試
【大學面試】自我介紹全攻略 | 附上懶人面試check list | 應屆考生面試前必看!【懶人包】
大學面試 自我介紹 全攻略 辛苦考完DSE後,應屆考生們就要開始面對不同的大學面試。 應該如何自我介紹才能凸顯自己,增加自己被取錄的機會?...

More about Polynomials 續多項式

多項式是高中數學中的重要概念之一,是由多個同類項相加或相乘得到的代數式。
在多項式中,包含有變量、係數和指數三個元素。多項式的次數指的是所有同類項中最高次冪的指數,而多項式的係數則是各項中變量的係數。
多項式在數學和工程學中都有廣泛的應用,例如用來表示函數 (function)、進行數值逼近 (numerical approximation)、求解方程 (solving equations) 等等。
在本文中,我們將討論多項式的基本概念和運算,以及多項式在實際中的應用。

Polynomials 多項式 定義

多項式 (polynomial)是指由一個或多個變量 (variable) 和它們的常數系數 (constant coefficient) 所構成的代數式,其中變量只能以自然數次幂 (natural number exponent) 為指數。一般地,一個n次多項式函數可以表示為:

p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0

其中a_0, a_1, ..., a_n為常數系數,x是變量,n為次數 (degree)。多項式中的每一項都是一個變量的次幂和它的系數的乘積,稱為該多項式的項 (term)。例如,3x^2和2x是多項式3x^2 + 2x的項。

多項式例子

一次多項式

一次多項式是指次數為1的多項式,形如:

p(x) = ax + b

其中a和b為常數系數,x是變量。例如,2x + 3就是一個一次多項式,其中a=2,b=3。

更多多項式例子

  1. 二次多項式 (quadratic polynomial):
p(x) = 3x^2 - 5x + 2

這個多項式次數為2,其中a_2=3,a_1=-5,a_0=2

  1. 三次多項式 (cubic polynomial):
p(x) = x^3 + 2x^2 - x + 3

這個多項式次數為3,其中a_3=1,a_2=2,a_1=-1,a_0=3

  1. 四次多項式 (quartic polynomial):
p(x) = 4x^4 - 6x^3 + 2x^2 - 5x + 1

這個多項式次數為4,其中a_4=4,a_3=-6,a_2=2,a_1=-5,a_0=1

這些多項式都可以用來表示一些數學函數或進行數值逼近,也可以用來求解方程或進行其他代數運算。

不是多項式

要讓一個代數式成為多項式,它必須滿足以下條件:

  • 其中不能含有根號內含變量。
  • 其中的指數必須是非負整數,不可以有負指數。
  • 變量的指數必須是整數,不能有分數指數。

如果一個代數式不滿足上述條件,那它就不是多項式。

例如:

  • x/(x+1)是一個代數式,但它不是多項式,因為它在 x = -1 的時候未定義。
  • √(x+1): 這個代數式的根號內含有變量,因此它不是多項式。

Polynomial Coefficients 多項式係數

多項式係數指的是多項式中各項中變量的次數所對應的常數。例如,在多項式 f(x) = 3x^2 + 2x + 1 中,3、2、1就是各項對應的係數。係數可以是整數、有理數或者是實數,視多項式的定義域而定。

Degree of a polynomial 多項式次數

多項式的次數指的是多項式中具有最高次幂的項的次數。例如,多項式 f(x) = 3x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 7x + 1 的次數為 4,因為 3x^4 是最高次幂的項,且其次數為 4。

多項式次數的重要性在於,它可以幫助我們判斷多項式的性質和行為。例如,當多項式的次數為偶數時,多項式的圖像會有一個最小值,而當多項式的次數為奇數時,圖像會穿過 x 軸。此外,多項式的次數還可以用來幫助我們決定多項式的截距和漸近線等特性。

在多項式的運算中,次數也扮演著重要的角色。例如,在多項式的加減乘除運算中,次數可以用來決定多項式運算後的次數,進而決定多項式的性質和行為。另外,在求多項式的導函數和積分等運算中,次數也是非常重要的。

Polynomial long division 多項式除法

多項式除法是一種將一個多項式除以另一個多項式的運算。多項式除法的結果通常是商多項式和餘式多項式。

例如,讓我們考慮將多項式 f(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2 除以多項式 g(x) = x - 1。我們可以使用長除法的方法進行多項式除法:

          x^2 + 3x + 2
         ———————-
x - 1 | x^3 + 2x^2 - x - 2
          x^3 - x^2
          ———————-
                 3x^2 - x
                 3x^2 - 3x
          ———————-
                           2x - 2
                           2x - 2
                            ——-
                                   0

因此,商多項式為 x^2 + 3x + 2,餘式多項式為 0。

在多項式除法中,我們可以使用多種方法進行除法,例如長除法、合成除法和因式分解法等。這些方法的目的都是找到商多項式和餘式多項式,以便更好地理解多項式的性質和行為。

Remainder Theorem 餘式定理

餘式定理是關於多項式除法的一個重要結果。它指出,當一個多項式被除以 x-a 的時候,其餘式等於把 a 代入多項式中所得到的值。

具體來說,假設有一個多項式 f(x) 和一個數字 a,則根據餘式定理,我們可以得到以下結果:

f(a) = R

其中,R 為 f(x) 除以 x-a 所得到的餘式。

餘式定理的應用非常廣泛,它可以幫助我們求出多項式的根或者因式分解。例如,如果我們想要找到多項式 f(x) = x^3 – 2x^2 + 3x – 6 的根,可以使用餘式定理進行求解:

首先,將 f(x) 除以 x-2,

根據餘式定理,當 x=2 時,f(x) 的值等於 R=4。因此,2 是 f(x) 的一個根。

接著,我們可以將 f(x) 除以 (x-2) 得到另一個多項式 g(x):

g(x) = (x^3 – 2x^2 + 3x – 6) / (x-2) = x^2 + x + 5

因此,我們得到了 f(x) 的因式分解式:

f(x) = (x-2)(x^2 + x + 5)+4

因此,餘式定理是一個非常有用的工具,可以幫助我們在求解多項式問題時更加方便和高效。

Factor Theorem 因式定理

因式定理是指將一個多項式分解成其因式的方法。它說明了如果一個多項式中包含了某個因式,那麼我們可以使用因式定理來進行分解。

具體來說,假設有一個多項式 f(x) 和一個因式 x-a,則根據因式定理,我們可以得到以下結果:

f(x) = (x-a) * g(x)

其中,g(x) 是 f(x) 除以 x-a 得到的商多項式。

因式定理的應用非常廣泛,它可以幫助我們快速地進行多項式的因式分解。例如,如果我們要將多項式 f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12 分解成其因式,可以使用因式定理進行求解:

首先,根據因式定理,我們可以猜測出 f(x) 的一個因式是 x-2,因為當 x=2 時,f(x) 的值等於 0(即是無餘數,「除得盡」)。

接著,我們可以使用因式定理進行分解:

f(x) = (x-2) * g(x)

其中,g(x) 為 f(x) 除以 (x-2) 得到的商多項式。我們可以使用多項式除法,得到:

因此,我們得到了 f(x) 的因式分解式:

f(x) = (x-2)(x^2 - x - 6) = (x-2)(x-3)(x+2)

因此,因式定理是一個非常有用的工具,可以幫助我們快速地進行多項式的因式分解。

最大公因式和最小公倍式的概念

最大公因式和最小公倍式是兩個常見的數學概念,它們可以用於尋找兩個或多個數的公共因式或公共倍式。

考慮兩個多項式 P(x) 和 Q(x):

Advertisements

P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anxn

Q(x) = b0 + b1x + b2x^2 + … + bmxm

它們的最大公因式 G(x) 和最小公倍式 L(x) 可以通過它們的因式分解得到:

P(x) = G(x) * D1(x) Q(x) = G(x) * D2(x) L(x) = G(x) * D1(x) * D2(x)

其中 D1(x) 和 D2(x) 是 P(x) 和 Q(x) 的非公共因式,G(x) 是 P(x) 和 Q(x) 的公共因式,它是 P(x) 和 Q(x) 的最大公因式。而 L(x) 則是 P(x) 和 Q(x) 的最小公倍式。

在求解多項式的最大公因式和最小公倍式時,我們可以使用多項式除法、歐幾里得算法、因式分解等方法。需要注意的是,多項式的最大公因式和最小公倍式可能不唯一,因為它們取決於多項式的因式分解形式。

假設我們要找出多項式 P(x) = 2x^3 + 8x^2 + 10x 和 Q(x) = x^2 + 3x 的最大公因式和最小公倍式。

首先,我們可以因式分解 P(x) 和 Q(x),得到:

P(x) = 2x(x+1)(x+5)
Q(x) = x(x+3)

接著,我們可以找出它們的公共因式和非公共因式:

P(x) 和 Q(x) 的公共因式為 x。

P(x) 的非公共因式為 2(x+1)(x+5)。

Q(x) 的非公共因式為 (x+3)。

因此,P(x) 和 Q(x) 的最大公因式為 G(x) = x,最小公倍式為 L(x) = 2x(x+1)(x+3)(x+5)。

進行有理函數的加、減、乘和除

more about polynomial

有理函數的加、減、乘和除可以使用分數的加、減、乘和除的方式來完成。以下是這些操作的詳細步驟:

有理函數的加法

要加起兩個有理函數 f(x) 和 g(x),需要將它們的分母通分,然後將分子相加,得到結果 h(x)。最後,將 h(x) 化簡為最簡分式。

具體步驟如下:

  1. 將 f(x) 和 g(x) 的分母分別因式分解,得到它們的公共因式和非公共因式。
  2. 將 f(x) 和 g(x) 的分子乘上使分母通分的因式,得到新的分子 f'(x) 和 g'(x)。
  3. 將 f'(x) 和 g'(x) 的分子相加,得到新的分子 h(x)。
  4. 將 h(x) 化簡為最簡分式,即將分子和分母同除以它們的最大公因式。

舉例來說,要進行有理函數的加法:

frac{2}{x-1} + frac{3}{x+2}

首先,找到兩個有理函數的分母的公因式是 (x-1)(x+2)

接下來,將每個有理函數的分子乘上一個因式,這個因式是公因式除以該有理函數的分母:

frac{2(x+2)}{(x-1)(x+2)} + frac{3(x-1)}{(x-1)(x+2)}

將兩個有理函數的分子相加,分母保持不變:

frac{2(x+2)+3(x-1)}{(x-1)(x+2)} = frac{5x-4}{(x-1)(x+2)}

最後,可以簡化答案,如果需要。

有理函數的減法

要減去兩個有理函數 f(x) 和 g(x),需要先將 g(x) 取相反數 (-g(x)),然後將 f(x) 和 -g(x) 相加,得到結果 h(x)。最後,將 h(x) 化簡為最簡分式。

具體步驟如下:

  1. 將 g(x) 取相反數,即乘上 -1。
  2. 將 f(x) 和 -g(x) 進行加法運算,得到新的有理函數 h(x)。
  3. 將 h(x) 化簡為最簡分式,即將分子和分母同除以它們的最大公因式。

舉例來說,要進行有理函數的加法:

frac{2x^2 - 3x + 1}{x-2} - frac{x^2 - x - 2}{x+1}

首先,找到兩個有理函數的分母的公因式是 (x-2)(x+1)[/katex]。

接下來,將每個有理函數的分子乘上一個因式,這個因式是公因式除以該有理函數的分母,將兩個有理函數的分子相減,分母保持不變:

frac{(2x^2 - 3x + 1)(x+1)}{(x-2)(x+1)} - frac{(x^2 - x - 2)(x-2)}{(x-2)(x+1)}
frac{2x^3 - x^2 - 7x + 3 - (x^3 - 3x^2 - x + 4)}{(x-2)(x+1)}
frac{x^3 + 4x^2 - 6x - 1}{(x-2)(x+1)}

最後,可以簡化答案,如果需要。

有理函數的乘法

要將兩個有理函數 f(x) 和 g(x) 相乘,需要先將它們的分子和分母分別相乘,然後將它們的乘積化簡為最簡分式。

具體步驟如下:

  1. 將 f(x) 和 g(x) 的分子相乘,得到新的分子 h(x)。
  2. 將 f(x) 和 g(x) 的分母相乘,得到新的分母 k(x)。
  3. 將 h(x) 和 k(x) 化簡為最簡分式,即將分子和分母同除以它們的最大公因式。

舉例來說,要進行有理函數的乘法:

frac{2x-3}{x^2-1} cdot frac{x+1}{2x-1}

首先,確定每個有理函數的分子和分母:

frac{2x-3}{(x+1)(x-1)} cdot frac{x+1}{2x-1}

把每個有理函數的分子相乘,分母相乘:

frac{(2x-3)(x+1)}{(x+1)(x-1)(2x-1)}

最後,可以簡化答案,如果需要。

frac{(2x-3)}{(x-1)(2x-1)}

有理函數的除法

要將一個有理函數 f(x) 除以另一個有理函數 g(x),我們可以利用以下步驟:

  1. 將被除式和除式都因式分解。
  2. 取被除式和除式的所有因式中,每個因式的最高次方。
  3. 以最高次方的商作為商式,除以最高次方的除式。

假設我們要計算 frac{2x^2 - 5x + 1}{x-1} div frac{x^2 - 4}{x+1},我們可以進行以下步驟:

將被除數和除數都因式分解。在這個例子中,2x^2 - 5x + 1 可以分解成 (2x-1)(x-1)x^2-4 可以分解成 (x+2)(x-2)

將除數取倒數,然後將問題轉換為乘法問題。即 frac{2x^2 - 5x + 1}{x-1} div frac{x^2 - 4}{x+1} 變成了 frac{2x^2 - 5x + 1}{x-1} times frac{x+1}{x^2 - 4}

化簡分式。注意到 x^2-4 可以再進一步分解為 (x+2)(x-2),所以我們可以把分母化簡成 frac{2x+3}{(x-1)(x+2)} times frac{x+1}{(x-2)(x+2)}

將分子相乘。在這個例子中,(2x-1)(x+1) = 2x^2 + x - 1

將分式化簡到最簡形式。在這個例子中,(2x^2 - 5x + 1) div (x^2 - 4) = frac{2x+3}{(x-1)(x+2)}

因此,frac{2x^2 - 5x + 1}{x-1} div frac{x^2 - 4}{x+1} = frac{2x+3}{(x-1)(x+2)}

如果大家有什麼補習問題,如私人補習、網上補習好唔好,歡迎你可以隨時再跟我多交流一下,可以Follow 「學博教育中心 Learn Smart Education」 Facebook pageIG得到更多補習課程資訊,亦都可以上我們的補習網頁了解更多!

DSE 數學 文章系列

  1. Quadratic Equation in One Unknown 一元二次方程
  2. Functions and Graphs 函數及其圖像
  3. Equations of Straight Lines 直線方程
  4. More about Polynomials 續多項式 
  5. Exponential Functions 指數函數
  6. Logarithmic Functions 對數函數
  7. More about Equations 續方程
  8. Variations 變分
  9. More about Trigonometry 續三角學 
  10. Basic Properties of Circles 圓的基本性質
  11. Tangents to Circles 圓形切線
  12. Inequalities 不等式
  13. Linear Programming 線性規畫
  14. Applications of Trigonometry in 2-dimensional Problems 二維三角學應用
  15. Applications of Trigonometry in 3-dimensional Problems 三維三角學應用
  16. Equations of Circles 圓方程
  17. Locus 軌跡
  18. Measures of Dispersion 離差的度量
  19. Permutation and Combination 排列與組合
  20. More about Probability 續概率
  21. ASGS 等差數列與等比數列
  22. Uses and Abuses of Statistics 統計的應用及誤用

如想了解各科DSE更深入的知識,歡迎瀏覽各科目導師的個人網站:

中文科:Issac Lo 經致中文
英文科:Learn Smart English Team
數學科:GJ Mathematics

更多線上課程:Upgrade HK

立即訂閱最新DSE應試攻略