Skip to content

【Logarithmic Functions DSE】對數函數【全攻略】

最新文章
BAFS DSE
【懶人包】BAFS DSE 成本會計&財務會計必學必考公式
不少有修讀 BAFS 的同學都抱怨,BAFS 這一科的骨牌效應很重,公式又多又亂又難記。小編曾經都有修讀BAFS,深深明白到記住所有的公式和概念會覺得有一些挑戰。  ...
中國文學dse
【中國文學dse】28篇範文如何溫?披露賞析和創作高分秘技
不論你是喜歡中文而修讀中國文學科,還是被學校逼修讀,只要你需要考中國文學dse,你便需要看這一篇文章,幫你重啓文學科的希望!很多同學剛修讀中國文學一聽到dse需要背誦28篇指定篇章,再想到加上中文科的12篇範文(按篇數來說是15篇),共需背誦最少40篇的範文,他們便害怕了。不論任何科目都有一些考試策略,即使是中國文學科也有!這篇文章再全面教你如何溫習中國文學科的範文,並公開一些中國文學dse 5** 學生賞析及創作的高分秘訣。 目錄 中國文學28篇指定篇章是甚麼?...
大學面試
【大學面試】自我介紹全攻略 | 附上懶人面試check list | 應屆考生面試前必看!【懶人包】
大學面試 自我介紹 全攻略 辛苦考完DSE後,應屆考生們就要開始面對不同的大學面試。 應該如何自我介紹才能凸顯自己,增加自己被取錄的機會?...

Logarithmic Functions 對數函數
對數函數(Logarithmic Functions)是數學中的一種函數,它在科學、工程和經濟等領域中都有廣泛的應用。對數函數在數學中具有獨特的性質,可以將復雜的指數運算簡化為簡單的加、減和乘法運算,因此在數學中被廣泛應用。
除了在數學領域中的應用,對數函數還在現實生活中有著廣泛的應用。例如,對數函數可以用來測量地震的震級、描述聲音強度、衡量經濟增長率等等。
在本文中,我們將介紹對數函數的基本概念、性質和應用,以便讀者能夠更好地理解和應用這一重要的數學概念。

Logarithmic Functions 對數函數 是什麼?

當我們想要計算一個數字在指數形式下的值時,對數函數可以幫助我們把這個問題轉化為對數形式的問題,讓計算變得更簡單。

對數函數定義:對數函數的運算符號為log,底數可以是任何正數,例如常見的底數有e(自然對數的底數)、2(計算電腦的運算速度常用的底數)等。

例如,假設我們要計算 100 在以 10 為底的指數中的值,即 10 的幾次方等於 100,可以表示為log₁₀(100) = 2。這意味著在以 10 為底的指數中,100 的值等於 10 的平方,計算變得更加簡單。

對數函數也有一些特殊的性質,例如兩個數字相乘的對數等於兩個數字的對數相加,兩個數字相除的對數等於兩個數字的對數相減,數字的乘方的對數等於指數與底數的對數相乘。這些性質可以使對數運算更加簡便。

Logarithmic Functions 對數函數 公式

對數函數的公式為:

logₐ(x) = y

其中,a 為底數,x 為實數,y 為對數。這個公式表示,a 的 y 次方等於 x,即 a 的 y 次方等於 x,在以 a 為底的指數中的值等於 y。

對數函數的底數可以是任意正數,通常使用自然對數的底數 e 或者 10 作為底數,表示為log₁₀(x)。

如果底數為10,可以不寫。(i.e. log(x))

對數函數也可以表示為反函數,即指數函數的反函數,例如:

y = logₐ(x) <==> x = a^y

其中,a、x、y 的含義與上面的公式相同。

對數函數還有許多重要的性質和定理,例如對數函數的導數、對數函數的積分等等。這些性質和定理在數學和科學中具有廣泛的應用。

Advertisements

log公式

當a、b、M和N是正實數且a和b不等於1時,以下是對數恆等式的更有組織和簡潔的表述:

  1. log_a(1) = 0
  2. log_a(a) = 1
  3. log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)
  4. log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N)
  5. log_a(M^k) = k log_a(M)
  6. 換底公式: log_b(N) = log_a(N) / log_a(b)

Logarithmic Functions 對數函數 圖像

對數函數性質

Logarithmic Functions

對數函數的圖像特徵如下:

  1. 定義域:對數函數的定義域是正實數集 (0, +∞)。
  2. 值域:對數函數的值域是實數集 (-∞, +∞)。
  3. 對稱軸:對數函數的對稱軸是y軸,因為當x取相反數時,對數函數的值並不改變。
  4. 漸近線:對數函數有一條水平漸近線y = 0,因為當x趨向於無窮大時,對數函數的值趨近於正無窮,當x趨向於0時,對數函數的值趨近於負無窮。
  5. 單調性:對數函數在定義域內單調遞增。
  6. 與指數函數的關係:對數函數與指數函數是互為反函數的函數,它們的圖像關於直線y = x對稱。
  7. 變換:對數函數的圖像可以通過上下平移、左右平移、垂直和水平伸縮等變換得到。例如,對數函數f(x) = log_a(x)的圖像在x軸上截距為1,可以通過向上平移1個單位得到對數函數g(x) = log_a(x) + 1的圖像。

解對數方程

解對數方程的一般步驟如下:

  1. 化簡方程:將方程化為對數的標準形式,即log_a(b) = c。
  2. 變形方程:將方程兩側同時進行底數為a的指數運算,得到b = a^c。
  3. 檢驗解的合法性:將求得的解代入原方程,檢驗是否成立。

需要注意的是,在進行步驟2時,如果底數a等於1,則方程無解;如果底數a小於0或等於1,則方程無實數解。如果方程的解集中有負數,應當檢驗這些負數是否合法。

對數函數練習

以下是一些解對數方程的例子:

例子1:解方程log_3(x + 4) - log_3(x - 2) = 1

解:

  1. 將方程化為標準形式,得到log_3[(x + 4) / (x - 2)] = 1
  2. 然後變形方程,得到(x + 4) / (x - 2) = 3。解得x = 5。
  3. 最後檢驗解的合法性,將x = 5代入原方程得到:log_3(9) - log_3(3) = 1,方程成立,所以x = 5是方程的解。

例子2:解方程log_2(x + 1) + log_2(x - 3) = 2

解:

  1. 將方程化為標準形式,得到log_2[(x + 1) (x - 3)] = 2
  2. 然後變形方程,得到(x + 1) (x - 3) = 4。解得x = -2或x = 5。但是,因為底數為2,所以方程只有正實數解。所以x = 5是方程的解。
  3. 最後檢驗解的合法性,將x = 5代入原方程得到:log_2(6) + log_2(2) = 2,方程成立,所以x = 5是方程的解。

對數在現實生活情境中的應用

對數函數在現實生活中有很多應用,以下是其中的一些例子:

  1. 測量震級:地震的震級是以對數形式計算的。因為地震的震動幅度非常大,直接用普通的數字來描述不太方便。所以,使用震級來表示震動幅度,震級的計算方法就是通過對地震的振幅取對數來得到。
  2. 化學反應:化學反應的速率常常與反應物的濃度有關,而濃度通常是指物質的摩爾濃度,即單位體積內所含物質的摩爾數。化學反應速率隨著濃度的變化通常不是線性的,而是呈現出一種對數關係。
  3. 聲音強度:聲音強度也是以對數形式來表示的。因為聲音的強度是以瓦特為單位計量的,而瓦特的量級很大,用常規數字來表示不太方便,所以我們通常用分貝 (dB) 來表示聲音強度。
  4. 經濟增長:經濟增長通常也是以對數形式來表示的。這是因為經濟增長的速度通常不是線性的,而是呈現出一種對數關係。例如,一個經濟體增長了10%的GDP,這個增長數值對於一個發展中國家和一個發達國家的影響是不同的。
  5. 貨幣貶值:貨幣貶值通常也是以對數形式來表示的。通貨膨脹導致貨幣的購買力下降,但這種下降並不是線性的,而是呈現出一種對數關係。因此,貨幣貶值率可以通過取對數來進行度量。

綜上所述,對數函數在現實生活中有很多應用,它們可以用來度量和描述許多物理、經濟和社會現象。

如果大家有什麼補習問題,如私人補習、網上補習好唔好,歡迎你可以隨時再跟我多交流一下,可以Follow 「學博教育中心 Learn Smart Education」 Facebook pageIG得到更多補習課程資訊,亦都可以上我們的補習網頁了解更多!

DSE 數學 文章系列

  1. Quadratic Equation in One Unknown 一元二次方程
  2. Functions and Graphs 函數及其圖像
  3. Equations of Straight Lines 直線方程
  4. More about Polynomials 續多項式 
  5. Exponential Functions 指數函數
  6. Logarithmic Functions 對數函數
  7. More about Equations 續方程
  8. Variations 變分
  9. More about Trigonometry 續三角學 
  10. Basic Properties of Circles 圓的基本性質
  11. Tangents to Circles 圓形切線
  12. Inequalities 不等式
  13. Linear Programming 線性規畫
  14. Applications of Trigonometry in 2-dimensional Problems 二維三角學應用
  15. Applications of Trigonometry in 3-dimensional Problems 三維三角學應用
  16. Equations of Circles 圓方程
  17. Locus 軌跡
  18. Measures of Dispersion 離差的度量
  19. Permutation and Combination 排列與組合
  20. More about Probability 續概率
  21. ASGS 等差數列與等比數列
  22. Uses and Abuses of Statistics 統計的應用及誤用

如想了解各科DSE更深入的知識,歡迎瀏覽各科目導師的個人網站:

中文科:Issac Lo 經致中文
英文科:Learn Smart English Team
數學科:GJ Mathematics

更多線上課程:Upgrade HK

立即訂閱最新DSE應試攻略