【Logarithmic Functions DSE】對數函數【全攻略】


Logarithmic Functions 對數函數
對數函數(Logarithmic Functions)是數學中的一種函數,它在科學、工程和經濟等領域中都有廣泛的應用。對數函數在數學中具有獨特的性質,可以將復雜的指數運算簡化為簡單的加、減和乘法運算,因此在數學中被廣泛應用。
除了在數學領域中的應用,對數函數還在現實生活中有著廣泛的應用。例如,對數函數可以用來測量地震的震級、描述聲音強度、衡量經濟增長率等等。
在本文中,我們將介紹對數函數的基本概念、性質和應用,以便讀者能夠更好地理解和應用這一重要的數學概念。
Logarithmic Functions 對數函數 是什麼?
當我們想要計算一個數字在指數形式下的值時,對數函數可以幫助我們把這個問題轉化為對數形式的問題,讓計算變得更簡單。
對數函數定義:對數函數的運算符號為log,底數可以是任何正數,例如常見的底數有e(自然對數的底數)、2(計算電腦的運算速度常用的底數)等。
例如,假設我們要計算 100 在以 10 為底的指數中的值,即 10 的幾次方等於 100,可以表示為log₁₀(100) = 2。這意味著在以 10 為底的指數中,100 的值等於 10 的平方,計算變得更加簡單。
對數函數也有一些特殊的性質,例如兩個數字相乘的對數等於兩個數字的對數相加,兩個數字相除的對數等於兩個數字的對數相減,數字的乘方的對數等於指數與底數的對數相乘。這些性質可以使對數運算更加簡便。
Logarithmic Functions 對數函數 公式
對數函數的公式為:
logₐ(x) = y
其中,a 為底數,x 為實數,y 為對數。這個公式表示,a 的 y 次方等於 x,即 a 的 y 次方等於 x,在以 a 為底的指數中的值等於 y。
對數函數的底數可以是任意正數,通常使用自然對數的底數 e 或者 10 作為底數,表示為log₁₀(x)。
如果底數為10,可以不寫。(i.e. log(x))
對數函數也可以表示為反函數,即指數函數的反函數,例如:
y = logₐ(x) <==> x = a^y
其中,a、x、y 的含義與上面的公式相同。
對數函數還有許多重要的性質和定理,例如對數函數的導數、對數函數的積分等等。這些性質和定理在數學和科學中具有廣泛的應用。
log公式
當a、b、M和N是正實數且a和b不等於1時,以下是對數恆等式的更有組織和簡潔的表述:
loga(1)=0log_a(1) = 0loga(1)=0
loga(a)=1log_a(a) = 1loga(a)=1
loga(MN)=loga(M)+loga(N)log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)loga(MN)=loga(M)+loga(N)
loga(M/N)=loga(M)−loga(N)log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N)loga(M/N)=loga(M)−loga(N)
loga(Mk)=kloga(M)log_a(M^k) = k log_a(M)loga(Mk)=kloga(M)
換底公式: logb(N)=loga(N)/loga(b)log_b(N) = log_a(N) / log_a(b)logb(N)=loga(N)/loga(b)
Logarithmic Functions 對數函數 圖像
對數函數的圖像特徵如下:
定義域:對數函數的定義域是正實數集 (0, +∞)。
值域:對數函數的值域是實數集 (-∞, +∞)。
對稱軸:對數函數的對稱軸是y軸,因為當x取相反數時,對數函數的值並不改變。
漸近線:對數函數有一條水平漸近線y = 0,因為當x趨向於無窮大時,對數函數的值趨近於正無窮,當x趨向於0時,對數函數的值趨近於負無窮。
單調性:對數函數在定義域內單調遞增。
與指數函數的關係:對數函數與指數函數是互為反函數的函數,它們的圖像關於直線y = x對稱。
變換:對數函數的圖像可以通過上下平移、左右平移、垂直和水平伸縮等變換得到。例如,對數函數f(x)=loga(x)f(x) = log_a(x)f(x)=loga(x)的圖像在x軸上截距為1,可以通過向上平移1個單位得到對數函數g(x)=loga(x)+1g(x) = log_a(x) + 1g(x)=loga(x)+1的圖像。
解對數方程
解對數方程的一般步驟如下:
化簡方程:將方程化為對數的標準形式,即log_a(b) = c。
變形方程:將方程兩側同時進行底數為a的指數運算,得到b = a^c。
檢驗解的合法性:將求得的解代入原方程,檢驗是否成立。
需要注意的是,在進行步驟2時,如果底數a等於1,則方程無解;如果底數a小於0或等於1,則方程無實數解。如果方程的解集中有負數,應當檢驗這些負數是否合法。
對數函數練習
以下是一些解對數方程的例子:
例子1:解方程log3(x+4)−log3(x−2)=1log_3(x + 4) - log_3(x - 2) = 1log3(x+4)−log3(x−2)=1
解:
將方程化為標準形式,得到log3[(x+4)/(x−2)]=1log_3[(x + 4) / (x - 2)] = 1log3[(x+4)/(x−2)]=1。
然後變形方程,得到(x+4)/(x−2)=3(x + 4) / (x - 2) = 3(x+4)/(x−2)=3。解得x = 5。
最後檢驗解的合法性,將x = 5代入原方程得到:log3(9)−log3(3)=1log_3(9) - log_3(3) = 1log3(9)−log3(3)=1,方程成立,所以x = 5是方程的解。
例子2:解方程log2(x+1)+log2(x−3)=2log_2(x + 1) + log_2(x - 3) = 2log2(x+1)+log2(x−3)=2
解:
將方程化為標準形式,得到log2[(x+1)(x−3)]=2log_2[(x + 1) (x - 3)] = 2log2[(x+1)(x−3)]=2。
然後變形方程,得到(x+1)(x−3)=4(x + 1) (x - 3) = 4(x+1)(x−3)=4。解得x = -2或x = 5。但是,因為底數為2,所以方程只有正實數解。所以x = 5是方程的解。
最後檢驗解的合法性,將x = 5代入原方程得到:log2(6)+log2(2)=2log_2(6) + log_2(2) = 2log2(6)+log2(2)=2,方程成立,所以x = 5是方程的解。
對數在現實生活情境中的應用
對數函數在現實生活中有很多應用,以下是其中的一些例子:
測量震級:地震的震級是以對數形式計算的。因為地震的震動幅度非常大,直接用普通的數字來描述不太方便。所以,使用震級來表示震動幅度,震級的計算方法就是通過對地震的振幅取對數來得到。
化學反應:化學反應的速率常常與反應物的濃度有關,而濃度通常是指物質的摩爾濃度,即單位體積內所含物質的摩爾數。化學反應速率隨著濃度的變化通常不是線性的,而是呈現出一種對數關係。
聲音強度:聲音強度也是以對數形式來表示的。因為聲音的強度是以瓦特為單位計量的,而瓦特的量級很大,用常規數字來表示不太方便,所以我們通常用分貝 (dB) 來表示聲音強度。
經濟增長:經濟增長通常也是以對數形式來表示的。這是因為經濟增長的速度通常不是線性的,而是呈現出一種對數關係。例如,一個經濟體增長了10%的GDP,這個增長數值對於一個發展中國家和一個發達國家的影響是不同的。
貨幣貶值:貨幣貶值通常也是以對數形式來表示的。通貨膨脹導致貨幣的購買力下降,但這種下降並不是線性的,而是呈現出一種對數關係。因此,貨幣貶值率可以通過取對數來進行度量。
綜上所述,對數函數在現實生活中有很多應用,它們可以用來度量和描述許多物理、經濟和社會現象。
如果大家有什麼補習問題,如私人補習、網上補習好唔好,歡迎你可以隨時再跟我多交流一下,可以Follow 「學博教育中心 Learn Smart Education」 Facebook page同IG得到更多補習課程資訊,亦都可以上我們的補習網頁了解更多!
DSE 數學 文章系列
More about Trigonometry 續三角學
Tangents to Circles 圓形切線
Inequalities 不等式
Linear Programming 線性規畫
Applications of Trigonometry in 2-dimensional Problems 二維三角學應用
Applications of Trigonometry in 3-dimensional Problems 三維三角學應用
Equations of Circles 圓方程
Locus 軌跡
Measures of Dispersion 離差的度量
Permutation and Combination 排列與組合
More about Probability 續概率
Uses and Abuses of Statistics 統計的應用及誤用